Aplicaciones del método de Green para modelaje de pozos horizontales en yacimientos petrolíferos

El comportamiento de la presión en yacimientos petrolíferos se describe matemáticamente mediante la ecuación de difusividad. Por otro lado, la pequeña dimensión del radio de los pozos en relación al tamaño del yacimiento hace conveniente que estos sean representados mediante funciones generalizadas en el lado derecho de la ecuación de difusividad. La solución de esta ecuación no homogénea mediante métodos numéricos ordinarios o tradicionales (diferencias finitas y elementos finitos) no es satisfactoria porque esos métodos han sido diseñados para funciones suaves y diferenciables. Por lo tanto, se describe y valida una nueva técnica numérica que permite tratar las funciones singulares, asociadas a pozos horizontales y tortuosos, en el término no homogéneo de la ecuación de difusividad utilizando los métodos tradicionales. Se utilizan elementos finitos, el cual es un método numérico que permite incorporar fácilmente las condiciones de bordes en yacimientos de forma irregular.

La nueva técnica fue originalmente concebida para ser aplicada a los casos en que la tasa de producción de los pozos es conocida previamente. Sin embargo, en ingeniería y simulación de yacimientos algunas veces es necesario determinar la tasa de producción de un pozo a partir de su presión de fondo. Por esta razón se desarrolló una metodología, en el marco de la nueva técnica, que permite obtener la tasa de producción de un pozo a partir de la presión de fondo. El contenido de esta nota es original en forma y aplicabilidad a la simulación numérica de pozos horizontales y tortuosos.

Descripción de la técnica

La presión P del yacimiento se puede expresar como la suma de una presión regular P_T y la función de Green libre GL asociada a la función generalizada que representa al pozo horizontal o tortuoso en la ecuación de difusividad. De esta forma la ecuación de difusividad para P se transforma en una ecuación homogénea para P_T cuyo valor inicial queda inalterado y su condición de borde viene dada por

Esta última ecuación por ser homogénea, con condiciones de borde e iniciales infinitamente diferenciables, permite obtener una excelente aproximación de la presión P_T sobre mallas muy poco refinadas e independiente de la posición del pozo mediante elementos finitos o cualquier otro método diseñado para funciones suaves y diferenciables. Para hallar la presión P, original, sencillamente se suma la función libre de Green GL a la presión P_T, con lo cual se obtiene una excelente solución numérica de P que converge cuadráticamente a la solución exacta.

Partiendo de la ecuación de difusividad que describe la presión generada por un pozo de trayectoria γ en un yacimiento Ω y utilizando la norma Euclideana, el Teorema de Duhamel, descomposición de la presión, en parte regular y singular y resolviendo el sistema de ecuaciones final (referencia 1) es posible obtener las tasas de producción de los puntos fuentes que generan el pozo horizontal y honrar la presión en el borde del mismo. Una vez calculadas estas tasas, la función de Green queda completamente determinada y la técnica desarrollada puede ser utilizada sin modificaciones adicionales.

Ejemplo y validación

A continuación se analiza una aplicación de la metodología desarrollada al caso de un pozo horizontal, productor, de longitud unitaria ubicado en el interior de un yacimiento conceptual bidimensional de forma irregular con presión inicial nula, lo cual es compatible con el adimensionamiento. Para evaluar cualitativamente el impacto de la extensión propuesta presentamos en la figura 1 los contornos de presión, en el estado pseudo-estacionario, generados por un pozo horizontal cuando produce a una tasa global unitaria sin especificar la presión de fondo. Por otro lado, la figura 2 muestra los contornos de presión obtenidos, aplicando la extensión propuesta en esta nota al mismo pozo horizontal pero produciendo con una presión constante o de fondo de -0.51. Al contrastar ambas figuras se observa que los comportamientos de las presiones son completamente diferentes.

En la figura a la derecha, la presión a los largo del pozo varia continuamente alcanzando un valor mínimo en el centro, mientras que en la figura de abajo, los contornos de presión reflejan completamente la forma del pozo horizontal y los valores de la presión en las cercanías del pozo son aproximadamente iguales al valor de la presión de fondo prefijada de -0.51. Estas observaciones indican cualitativamente que la extensión del nuevo método funciona correctamente puesto que los comportamientos de presión descritos están en concordancia con la física del problema.

Para apreciar mejor los efectos cuantitativos de la extensión y obtener una mejor validación, el mismo pozo horizontal fue centrado en un yacimiento de forma rectangular de ancho unitario y cuya longitud duplica su anchura, permitiendo la comparación de soluciones analíticas y numéricas obtenidas mediante la extensión del nuevo método. Con esta finalidad se dio una tasa de producción unitaria global para el pozo horizontal con una restricción en la presión en el borde o fondo del pozo de -0.51, es decir la presión en el borde no puede ser menor a -0.51. Bajo estas condiciones se simuló el comportamiento del pozo horizontal durante un intervalo de tiempo adimensional de 1.5.

En la figura de la izquierda se pueden apreciar las tasas de producción y las presiones de fondo calculadas analítica y numéricamente. El pozo horizontal produce a una tasa global unitaria hasta aproximadamente el tiempo adimensional t=1 cuando la presión promedio en el borde del pozo es aproximadamente -0.51. En este punto el programa se ve obligado a mantener la presión y en consecuencia la extensión, propuesta en esta nota, calcula, en cada paso de tiempo, una tasa de producción que decrece exponencialmente.

Las oscilaciones de la solución numérica reflejan pequeñas inestabilidades consecuencia del carácter explicito del modelo matemático del pozo, sin embargo los errores entre las soluciones analíticas y numéricas para tasa y presión son menores al dos o tres por ciento lo cual es aceptable en ingeniería de yacimientos.

La extensión de la técnica desarrollada en el caso de pozos que producen por presión de fondo permite simular de manera total el comportamiento de un pozo de forma y dirección arbitraria. En el caso de un pozo horizontal, el ejemplo estudiado, evidencia que la inclusión de la presión de fondo es una condición indispensable y no superflua. Futuros experimentos necesitan ser realizados para optimizar la metodología.

Referencias:

1. A.K. Fermín-Rodríguez, J.M. Guevara-Jórdan y R. González-Requena, Aplicaciones del método de Green para modelaje de pozos horizontales en yacimientos petrolíferos. Acta Científica Venezolana, Vol. 52, Suplemento No. 2: 16–18, 2001